Аполлоны жийргэвч бол нэг том тойрог дотор байнга багасч буй тойргуудын цуглуулгаас бүрддэг фрактал дүрсний нэг төрөл юм. Аполлон жийргэвч дэх тойрог бүр зэргэлдээх тойрогтой шүргэгдсэн байдаг, өөрөөр хэлбэл Аполлон жийргэвч дэх тойрог нь хязгааргүй жижиг цэгүүд дээр холбоо тогтоодог. Грекийн математикч Аполлоний Пергагийн нэрээр нэрлэгдсэн энэ төрлийн фракталийг зохих хэмжээгээр нарийн зурж (гараар эсвэл компьютерээр) зурж, үзэсгэлэнтэй, гайхалтай дүр төрхийг бүрдүүлдэг. Эхлэхийн тулд доорх 1 -р алхамыг үзнэ үү.
Алхам
2 -р хэсгийн 1: Гол ойлголтуудыг ойлгох
Хэрэв та Аполлон жийргэвч зурах сонирхолтой байгаа бол фракталийн математикийн зарчмуудыг судлах нь чухал биш юм. Гэсэн хэдий ч хэрэв та Аполлон жийргэвчийг илүү гүнзгий ойлгохыг хүсч байвал тэдгээрийг хэлэлцэх үед ашиглах хэд хэдэн ойлголтын тодорхойлолтыг ойлгох нь чухал юм.
Алхам 1. Гол нэр томъёог тодорхойл
Дараахь нэр томъёог дараах зааварт ашигласан болно.
- Аполлоны жийргэвч: Нэг том тойрог дотор үүрлэсэн хэд хэдэн тойрог хэсгээс бүрдэх фрактал хэлбэрийн хэд хэдэн нэрний нэг бөгөөд ойролцоох бусадтай тангенс юм. Эдгээрийг "Содди тойрог" эсвэл "Үнсэх тойрог" гэж нэрлэдэг.
- Тойргийн радиус: Тойргийн төв цэгээс ирмэг хүртэлх зай. Ихэвчлэн r хувьсагчийг томилдог.
- Тойргийн муруйлт: Радиусын эерэг ба сөрөг урвуу буюу ± 1/r. Тойргийн гадна талын муруйлттай харьцах үед муруйлт эерэг, дотоод муруйлтын хувьд сөрөг байдаг.
- Тангенс: Хязгааргүй жижиг цэг дээр огтлолцох шугам, онгоц, хэлбэрт хэрэглэгддэг нэр томъёо. Аполлон жийргэвчний хувьд энэ нь тойрог бүр ойролцоох тойрог бүрт зөвхөн нэг цэгт хүрч байгааг хэлдэг. Огтлолцол байхгүй гэдгийг анхаарна уу - шүргэгч хэлбэрүүд давхцдаггүй.
Алхам 2. Декартийн теоремыг ойлгох
Декартын теорем бол Аполлоны жийргэвч дэх тойргийн хэмжээг тооцоолоход хэрэгтэй томъёо юм. Хэрэв бид ямар ч гурван тойргийн муруйлтыг (1/r) a, b, c гэж тус тусад нь тодорхойлсон бол тойрог (эсвэл тойрог) гурвуулаа шүргэсэн муруйлтыг d гэж тодорхойлно.: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Зорилгодоо хүрэхийн тулд бид зөвхөн авсан хариуг квадрат язгуурын өмнө нэмэх тэмдэг тавих замаар ашиглах болно (өөрөөр хэлбэл… + 2 (sqrt (…)). Одоогоор хасах үйлдлийг мэдэж байхад л хангалттай. тэгшитгэлийн хэлбэр нь бусад холбогдох ажилд хэрэглэгддэг
2 -р хэсгийн 2: Аполлон жийргэвчийг бүтээх
Аполлоны жийргэвч нь агшиж буй тойргийн сайхан фрактал хэлбэртэй байдаг. Математикийн хувьд Аполлон жийргэвч нь хязгааргүй нарийн төвөгтэй боловч та компьютер зурах програм эсвэл уламжлалт зургийн хэрэгслийг ашиглаж байгаа эсэхээс үл хамааран эцэст нь жижиг тойрог зурах боломжгүй хэмжээнд хүрэх болно. Та тойрог зурах тусам жийргэвчдээ илүү багтах болно гэдгийг анхаарна уу.
Алхам 1. Дижитал эсвэл аналог зурах хэрэгслүүдээ цуглуул
Доорх алхамуудад бид өөрсдийн Аполлон жийргэвчийг өөрөө хийх болно. Аполлон жийргэвчийг гараар эсвэл компьютер дээр зурах боломжтой. Аль ч тохиолдолд та төгс дугуй тойрог зурахыг хүсч байна. Энэ нь нэлээд чухал юм. Аполлоны жийргэвчний тойрог бүр хажууд байгаа тойрогтой маш сайн шүргэдэг тул бага зэрэг буруу хэлбэртэй тойрог нь таны эцсийн бүтээгдэхүүнийг "хаях" болно.
- Хэрэв жийргэвчийг компьютер дээр зурж байвал танд төв цэгээс тогтмол радиустай тойрог зурах боломжийг олгодог програм хэрэгтэй болно. GIMP үнэгүй дүрс засварлах програмын вектор зургийн өргөтгөл болох Gfig болон бусад олон төрлийн зургийн програмуудыг ашиглаж болно (холбогдох линкийг материалын хэсгээс үзнэ үү). Танд тооцоолох програм, муруйлт ба радиусын талаар тэмдэглэл хөтлөх текст боловсруулагч эсвэл физик тэмдэглэлийн дэвтэр хэрэгтэй болно.
- Жийргэвчийг өөрийн гараар зурахын тулд танд тооцоолуур (шинжлэх ухаан эсвэл графикаар санал болгосон), харандаа, луужин, захирагч (миллиметрийн тэмдэг бүхий масштаб, график цаас, тэмдэглэл хөтлөх дэвтэр хэрэгтэй болно) хэрэгтэй болно.
Алхам 2. Нэг том тойргоос эхэл
Таны анхны даалгавар маш энгийн - нэг том, төгс дугуй тойрог зур. Тойрог том байх тусам жийргэвч нь илүү төвөгтэй байж болох тул зургийн програмынхаа нэг цонхон дээр цаасны зөвшөөрсөн хэмжээгээр эсвэл том хэмжээтэй тойрог хийхийг хичээ.
Алхам 3. Анхны дотор нэг талдаа шүргэсэн жижиг тойрог үүсгэнэ
Дараа нь анхныхаасаа жижиг хэмжээтэй боловч нэлээд том хэмжээтэй өөр тойрог зур. Хоёрдахь тойргийн яг хэмжээ нь танд хамаарна - зөв хэмжээ байхгүй байна. Гэсэн хэдий ч, бидний зорилгын үүднээс бид хоёр дахь тойрогоо зурж үзээд, энэ нь бидний том гаднах тойргийн яг хагас хүртэл хүрэх болно. Өөрөөр хэлбэл, төв цэг нь том тойргийн радиусын дунд цэг байхаар хоёр дахь тойрогоо зурцгаая.
Аполлон жийргэвч дээр хүрч буй бүх тойрог нь хоорондоо шүргэдэг гэдгийг санаарай. Хэрэв та өөрийн гараар тойрог зурахдаа луужин ашиглаж байгаа бол луужингийн хурц үзүүрийг гадна талын том тойргийн радиусын дунд байрлуулж харандаагаа том тойргийн ирмэг дээр хүрэхээр нь тохируулаад энэ эффектийг дахин бүтээгээрэй. дараа нь өөрийнхөө жижиг тойргийг зур
Алхам 4. Дотор жижиг тойргийг "эсрэг талд" ижил тойрог зур
Дараа нь эхний тойргийнхоо эсрэг өөр тойрог зурцгаая. Энэ тойрог нь гадна талын том тойрог болон жижиг тойргийн аль алинд нь шүргэх ёстой бөгөөд энэ нь таны хоёр дотоод тойрог нь том тойргийн яг дунд хэсэгт хүрэх болно гэсэн үг юм.
Алхам 5. Дараагийн тойргийнхоо хэмжээг олохын тулд Декартийн теоремыг ашиглана уу
Хэсэг зуур зурахаа больцгооё. Одоо жийргэвч дээрээ гурван тойрог байгаа тул бид зурах дараагийн тойргийн радиусыг олохын тулд Декартын теоремыг ашиглаж болно. Декартын теорем гэдгийг санаарай d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), энд a, b, c нь таны гурван шүргэгч тойргийн муруйлт, d нь гурвалжинд шүргэсэн тойргийн муруйлт юм. Тиймээс, бидний дараагийн тойргийн радиусыг олохын тулд одоо байгаа тойрог бүрийн муруйлтыг олж, дараагийн тойргийн муруйлтыг олж, дараа нь үүнийг радиус руу нь хөрвүүлье.
-
Гаднах тойргийнхоо радиусыг дараах байдлаар тодорхойлъё
1-р алхам.. Бусад тойрог нь энэ тойрог дотор байдаг тул бид түүний муруйлтыг (гадна талын муруйлтаас илүү) авч үздэг бөгөөд үүний үр дүнд түүний муруйлт нь сөрөг гэдгийг бид мэднэ. -1/r = -1/1 = -1. Том тойргийн муруйлт нь - 1.
-
Жижиг тойргийн радиус нь том тойргийнхоос хагас дахин том, өөрөөр хэлбэл 1/2 юм. Эдгээр тойрог нь бие биентэйгээ, том тойрог нь гадна талын ирмэгээр хүрч байгаа тул бид тэдний гадна талын муруйлттай харьцаж байгаа тул тэдний муруйлт эерэг байна. 1/(1/2) = 2. Жижиг тойргийн муруйлт хоёулаа байна
Алхам 2..
-
Декартын теоремын тэгшитгэлийн хувьд a = -1, b = 2, c = 2 гэдгийг бид мэднэ. D -ийг шийдье.
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Бидний дараагийн тойргийн муруйлт нь
Алхам 3.. 3 = 1/r тул бидний дараагийн тойргийн радиус нь 1/3.
Алхам 6. Дараагийн тойрог үүсгэх
Дөнгөж олсон радиусын утгыг ашиглан дараагийн хоёр тойргийг зурна уу. Эдгээр нь таны Декартын теорем дахь a, b, c -ийн муруйлтыг ашигласан тойрог шүргэх болно гэдгийг санаарай. Өөрөөр хэлбэл, тэд анхны болон хоёр дахь тойрогтой шүргэх болно. Эдгээр дугуйлангууд бүх гурван тойрог шүргэхийн тулд та том тойрог доторх талбайн дээд ба доод хэсэгт задгай зайд зурах хэрэгтэй.
Эдгээр тойргийн цацраг нь 1/3 -тэй тэнцүү байх болно гэдгийг санаарай. Гаднах тойргийн ирмэгээс 1/3 арагш хэмжиж, дараа нь шинэ тойрог зур. Энэ нь эргэн тойрны гурван тойрогтой шүргэх ёстой
Алхам 7. Үргэлжлүүлэн тойрог нэмж үргэлжлүүлээрэй
Тэд фракталууд учраас Аполлоны жийргэвч нь хязгааргүй нарийн төвөгтэй байдаг. Энэ нь та зүрхнийхээ агуулгад жижиг, жижиг тойрог нэмж болно гэсэн үг юм. Та зөвхөн багаж хэрэгслийнхээ нарийвчлалаар хязгаарлагддаг (эсвэл хэрэв та компьютер ашиглаж байгаа бол зургийн програмынхаа томруулах чадвар). Жижиг ч гэсэн тойрог бүр өөр гурван тойрог шүргэх ёстой. Дараагийн тойрог бүрийг жийргэвчдээ зурахын тулд гурван тойргийн муруйлтыг Декартын теоремд залгаарай. Дараа нь хариултаа ашиглан (энэ нь таны шинэ тойргийн радиус байх болно) шинэ тойрогоо зөв зурах.
- Бидний зурахаар сонгосон жийргэвч нь тэгш хэмтэй тул нэг тойргийн радиус нь "түүний эсрэг талд" харгалзах тойрогтой ижил болохыг анхаарна уу. Гэсэн хэдий ч Аполлон жийргэвч бүр тэгш хэмтэй байдаггүй гэдгийг мэдэж аваарай.
-
Өөр нэг жишээг авч үзье. Сүүлчийн тойрог зурсныхаа дараа бид одоо гурав дахь багц, хоёр дахь багц, гадна талын том тойрог дээрээ шүргэсэн тойрог зурахыг хүсч байна гэж бодъё. Эдгээр тойргийн муруйлт тус тус 3, 2, -1 байна. Эдгээр тоонуудыг a = -1, b = 2, c = 3 болгож Descartes теоремд холбож үзье.
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Бидэнд хоёр хариулт байна! Гэсэн хэдий ч бидний шинэ тойрог нь шүргэсэн тойргуудаас бага байх болно гэдгийг бид мэдэж байгаа тул зөвхөн муруйлт болно.
Алхам 6. (улмаар радиус 1/6) утга учиртай.
- Бидний хариулт болох 2 нь үнэндээ бидний хоёр, гурав дахь тойргийн шүргэх цэгийн нөгөө талд байгаа таамаглалын тойргийг хэлнэ. Энэ тойрог юм Эдгээр тойрог болон гадна талын том тойрог хоёуланд нь шүргэх боловч энэ нь бидний аль хэдийн зурсан тойргуудыг огтлох тул бид үүнийг үл тоомсорлож болно.
Алхам 8. Сорилтыг даван туулахын тулд хоёр дахь тойргийнхоо хэмжээг өөрчилж тэгш бус тэгш бус Apollonian жийргэвч хийж үзээрэй
Бүх Аполлон жийргэвч нь адилхан эхэлдэг - фракталын ирмэгийн үүргийг гүйцэтгэдэг гаднах том тойрогтой. Гэсэн хэдий ч, таны хоёр дахь тойрог заавал эхний радиусын 1/2 байх ёстой гэсэн ямар ч шалтгаан байхгүй - энэ нь энгийн бөгөөд ойлгоход хялбар тул бид үүнийг хийхээр сонгосон. Хөгжилтэй байхын тулд өөр хэмжээтэй хоёр дахь тойрог бүхий шинэ жийргэвчийг эхлүүлж үзээрэй, энэ нь эрэл хайгуулын сонирхолтой шинэ замыг бий болгоно.
