Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн график болгох вэ: 10 алхам (зурагтай)

2024 Зохиолч: Robert Blare | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-02-02 02:07

График хэлбэрийн квадрат тэгшитгэл сүх² + bx + c эсвэл a (x - h)² + к парабола гэж нэрлэгддэг гөлгөр U хэлбэртэй эсвэл урвуу U хэлбэрийн муруй өгнө. Квадрат тэгшитгэлийг дүрслэх нь түүний орой, чиглэл, ихэвчлэн x ба y огтлолцлыг олох явдал юм. Харьцангуй энгийн квадрат тэгшитгэлийн хувьд хэд хэдэн x утгыг залгаж, үүссэн цэгүүд дээр үндэслэн муруй зурахад хангалттай байж болно. Эхлэхийн тулд доорх 1 -р алхамыг үзнэ үү.

Алхам

Алхам 1. Танд квадрат тэгшитгэлийн аль хэлбэр байгааг тодорхойл

Квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэр, орой хэлбэр, квадрат хэлбэр гэсэн гурван өөр хэлбэрээр бичиж болно. Та квадрат тэгшитгэлийг дүрслэхийн тулд аль ч хэлбэрийг ашиглаж болно; тус бүрийг зурах үйл явц арай өөр байна. Хэрэв та гэрийн даалгавар хийх гэж байгаа бол асуудлыг ихэвчлэн эдгээр хоёр хэлбэрийн аль нэгээр хүлээж авах болно, өөрөөр хэлбэл та сонгох боломжгүй тул аль алиныг нь ойлгох нь зүйтэй. Квадрат тэгшитгэлийн хоёр хэлбэр нь:

• Стандарт хэлбэр.

  Энэ хэлбэрээр квадрат тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ: f (x) = ax² + bx + c, энд a, b, c нь бодит тоо бөгөөд a нь тэгтэй тэнцүү биш юм.

  Жишээлбэл, хоёр стандарт хэлбэрийн квадрат тэгшитгэл нь f (x) = x байна² + 2x + 1 ба f (x) = 9x² + 10х -8.

• Оройн хэлбэр.

  Энэ хэлбэрээр квадрат тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ: f (x) = a (x - h)² + k, a, h, k нь бодит тоо бөгөөд a нь тэгтэй тэнцүү биш юм. H ба k нь параболагийнхаа оройг (h, k) шууд өгдөг тул оройн хэлбэрийг ингэж нэрлэдэг.

  Оройн хэлбэрийн хоёр тэгшитгэл нь f (x) = 9 (x - 4)² + 18 ба -3 (x - 5)² + 1

• Эдгээр төрлийн тэгшитгэлийн аль нэгийг график болгохын тулд бид эхлээд муруйн "үзүүр" дэх төв цэг (h, k) болох параболагийн оройг олох хэрэгтэй. Стандарт хэлбэрээр оройн координатыг дараах байдлаар илэрхийлнэ: h = -b/2a ба k = f (h), харин орой хэлбэрийн хувьд h ба k -ийг тэгшитгэлд тодорхойлно.

Алхам 2. Хувьсагчаа тодорхойл

Квадрат бодлогыг шийдвэрлэхийн тулд a, b, c (эсвэл a, h, k) хувьсагчийг ихэвчлэн тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Алгебрийн дундаж асуудал нь хувьсагчдыг ихэвчлэн стандарт хэлбэрээр, заримдаа оройны хэлбэрээр бөглөсөн квадрат тэгшитгэлийг өгөх болно.

• Жишээлбэл, стандарт хэлбэрийн тэгшитгэлийн хувьд f (x) = 2x² + 16x + 39, бидэнд a = 2, b = 16, c = 39 байна.
• Оройн хэлбэрийн хувьд тэгшитгэл f (x) = 4 (x - 5)² + 12, бидэнд a = 4, h = 5, k = 12 байна.

Алхам 3. h -ийг тооцоолно уу

Оройн хэлбэрийн тэгшитгэлд таны h -ийн утгыг аль хэдийн өгсөн боловч стандарт хэлбэрийн тэгшитгэлд үүнийг тооцоолох ёстой. Стандарт хэлбэрийн тэгшитгэлийн хувьд h = -b/2a гэдгийг санаарай.

• Манай стандарт хэлбэрийн жишээнд (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Шийдвэрлэхдээ h = гэж олдог - 4.
• Манай орой хэлбэрийн жишээнд (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), бид математик хийхгүйгээр h = 5 гэдгийг мэддэг.

Алхам 4. k -ийг тооцоолно уу

H -ийн нэгэн адил k нь орой хэлбэрийн тэгшитгэлд аль хэдийн мэдэгдэж байсан. Стандарт хэлбэрийн тэгшитгэлийн хувьд k = f (h) гэдгийг санаарай. Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэл дэх x -ийн бүх жишээг h -ийн хувьд саяхан олсон утгаар орлуулснаар k -ийг олж болно.

• Бид стандарт хэлбэрийн жишээн дээрээ h = -4 гэж тодорхойлсон. K -ийг олохын тулд бид x -ийг орлуулах h -ийн утгатай тэгшитгэлээ шийднэ.

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Алхам 7.

• Бидний орой хэлбэрийн жишээнд, бид математик хийхгүйгээр k -ийн (энэ нь 12) утгыг дахин мэддэг.

Алхам 5. Дээд цэгээ зур

Таны параболагийн орой нь (h, k) - h цэг байх бөгөөд x нь координатыг, харин k нь y координатыг зааж өгнө. Дээд цэг нь таны параболагийн гол цэг юм - "U" -ийн хамгийн доод хэсэг эсвэл дээрээс доошоо харсан "U" -ийн дээд хэсэг юм. Дээд цэгийг мэдэх нь параболыг нарийвчлалтай зурах чухал хэсэг бөгөөд ихэвчлэн сургуулийн ажилд оройг зааж өгөх нь асуултын зайлшгүй хэсэг болдог.

• Бидний стандарт хэлбэрийн жишээн дээр бидний орой нь (-4, 7) дээр байх болно. Тиймээс манай парабола 0 ба 7 хоосон зайны зүүн талд 4 орон зайд оргилд хүрэх болно (0, 0). Бид координатыг шошголохдоо энэ цэгийг график дээрээ зурах ёстой.
• Бидний орой хэлбэрийн жишээнд бидний орой нь (5, 12) дээр байна. Бид баруун тийш 5 хоосон зай, дээр нь 12 зай (0, 0) байрлуулах ёстой.

Алхам 6. Параболагийн тэнхлэгийг зурна уу (заавал биш)

Параболагийн тэгш хэмийн тэнхлэг нь түүний дундуур өнгөрч, хагасыг нь төгс хуваасан шугам юм. Энэ тэнхлэгийн дагуу параболагийн зүүн тал нь баруун талыг толин тусгах болно. Сүх хэлбэрийн квадратуудын хувьд² + bx + c эсвэл a (x - h)² + k, тэнхлэг нь y тэнхлэгтэй параллель (өөрөөр хэлбэл төгс босоо) бөгөөд оройг дайран өнгөрөх шугам юм.

Бидний стандарт хэлбэрийн хувьд тэнхлэг нь y тэнхлэгтэй параллель бөгөөд (-4, 7) цэгийг дайрсан шугам юм. Хэдийгээр энэ нь параболагийн нэг хэсэг биш боловч график дээрээ энэ мөрийг бага зэрэг тэмдэглэвэл парабола хэрхэн тэгш хэмтэй муруйлдгийг харах боломжтой болно

Алхам 7. Нээх чиглэлийг олоорой

Параболагийн орой ба тэнхлэгийг олж мэдсэний дараа бид парабола дээшээ эсвэл доошоо нээгдэж байгааг мэдэх хэрэгтэй. Аз болоход энэ нь амархан. Хэрэв "a" эерэг байвал парабола дээшээ нээгдэнэ, хэрэв "a" сөрөг байвал парабола доошоо нээгдэнэ (өөрөөр хэлбэл дээшээ эргүүлнэ).

• Бидний стандарт хэлбэрийн жишээний хувьд (f (x) = 2x² + 16x + 39), бид парабола дээшээ нээгддэгийг мэддэг, учир нь манай тэгшитгэлд a = 2 (эерэг).
• Бидний орой хэлбэрийн жишээний хувьд (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), бид парабола дээшээ нээгддэгийг мэддэг, учир нь a = 4 (эерэг).

Алхам 8. Шаардлагатай бол x хөндлөн огтлолыг олж, зур

Ихэнхдээ сургуулийн ажил хийхдээ танаас параболагийн x-огтлолыг олохыг танаас хүсдэг (энэ нь параболагийн x тэнхлэгтэй таарч байгаа нэг эсвэл хоёр цэг юм). Хэдийгээр та тэдгээрийг олохгүй байсан ч гэсэн эдгээр хоёр цэг нь үнэн зөв парабола зурахад үнэлж баршгүй ач холбогдолтой юм. Гэсэн хэдий ч бүх параболууд x-intercept-тэй байдаггүй. Хэрэв таны параболагийн орой нь дээшээ нээгдэж, x тэнхлэгээс дээш оройтой эсвэл доошоо нээгдэж, x тэнхлэгээсээ доогуур оройтой байвал Үүнд x таслал байхгүй болно. Үгүй бол дараах аргуудын аль нэгийг ашиглан x таслалтыг шийдээрэй.

• Зүгээр л f (x) = 0 гэж тохируулаад тэгшитгэлийг шийдээрэй. Энэ арга нь энгийн квадрат тэгшитгэлд, ялангуяа оройн хэлбэрээр ажиллах боломжтой боловч илүү төвөгтэй хувилбаруудын хувьд маш хэцүү байх болно. Жишээг доороос үзнэ үү

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 ба 13 Эдгээр нь параболагийн x-interceptions юм.

• Таны тэгшитгэлд нөлөөл. Сүх дэх зарим тэгшитгэл² + bx + c хэлбэрийг (dx + e) (fx + g) хэлбэрт хялбархан оруулж болно, энд dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx ба e × g = c. Энэ тохиолдолд таны x таслал нь x -ийн утгууд бөгөөд эдгээр нь хаалтанд байгаа аль ч үгийг = 0 болгож өгдөг. Жишээлбэл:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Энэ тохиолдолд таны цорын ганц x хөндлөн огтлол -1 болно, учир нь x -ийг -1 -тэй тэнцүү тохируулах нь хаалтанд оруулсан хүчин зүйлүүдийн аль нэгийг 0 -тэй тэнцүү болгоно.

• Квадрат томъёог ашиглана уу. Хэрэв та өөрийн x хөндлөн огтлолыг хялбархан шийдэж чадахгүй эсвэл тэгшитгэлээ тодорхойлох боломжгүй бол энэ зорилгоор зориулагдсан квадрат томъёо гэж нэрлэгддэг тусгай тэгшитгэлийг ашиглаарай. Хэрэв энэ нь хараахан болоогүй бол тэгшитгэлээ ax хэлбэртэй болгоно уу² + bx + c, дараа нь a, b, c-ийг x = (-b +/- SqRt (b) томъёогоор залгаарай.² - 4ac))/2a. Энэ нь танд x гэсэн хоёр хариултыг өгдөг бөгөөд энэ нь зүгээр юм - энэ нь таны параболанд хоёр x таслалтай гэсэн үг юм. Доорх жишээг үзнэ үү.

  • -5х² + 1x + 10 квадрат томъёонд дараах байдлаар холбогддог.
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14.18)/-10
  • x = (13.18/-10) ба (-15.18/-10). Параболагийн x хөндлөн огтлол ойролцоогоор x = байна - 1.318 ба 1.518
  • Бидний өмнөх стандарт хэлбэрийн жишээ, 2х² + 16x + 39 квадрат томъёонд дараах байдлаар холбогддог.
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Сөрөг тооны квадрат язгуурыг олох боломжгүй учраас үүнийг бид мэднэ x огтлохгүй Энэхүү тусгай параболагийн хувьд байдаг.

Алхам 9. Шаардлагатай бол y таслалтыг олж, график үүсгээрэй

Хэдийгээр тэгшитгэлийн y хөндлөн огтлолыг олох шаардлагагүй байдаг (парабол нь y тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх цэг), гэхдээ та сургуульд сурч байгаа бол эцэст нь шаардах болно. Энэ процесс нь маш хялбар байдаг - x = 0 гэж тохируулаад f (x) эсвэл y гэсэн тэгшитгэлээ шийдээрэй, энэ нь параболагийн y тэнхлэгээр дамжих y утгыг өгнө. X -ийн огтлолцолоос ялгаатай нь стандарт параболууд нь зөвхөн нэг y хөндлөн огтлолтой байж болно. Тэмдэглэл - стандарт хэлбэрийн тэгшитгэлийн хувьд y огтлол нь y = c байна.

• Жишээлбэл, бид 2x квадрат тэгшитгэлээ мэддэг² + 16x + 39 нь y = 39 үед y таслалтай боловч үүнийг дараах байдлаар олж болно.

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Параболагийн y огтлол нь at байна y = 39.

    Дээр дурдсанчлан, y таслалтын хэмжээ y = c байна.

• Бидний орой дээрх тэгшитгэл 4 (x - 5)² + 12 нь y таслалттай бөгөөд үүнийг дараах байдлаар олж болно.

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Параболагийн y огтлол нь at байна y = 112.

Алхам 10. Шаардлагатай бол нэмэлт цэгүүдийг зурж, дараа нь график бичнэ үү

Та одоо тэгшитгэлийн орой, чиглэл, x хөндлөн огтлол, магадгүй y у таслалтай байх ёстой. Энэ үед та удирдамж болгон авсан оноогоо ашиглан параболаа зурахыг оролдож болно, эсвэл параболаа "бөглөх" илүү оноо олж авах боломжтой бөгөөд ингэснээр таны зурсан муруй илүү нарийвчлалтай болно. Үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол оройныхоо хоёр талд хэдэн x утгыг залгах, дараа нь олж авсан y утгыг ашиглан эдгээр цэгүүдийг зурах явдал юм. Ихэнхдээ багш нар параболаа зурахаасаа өмнө тодорхой тооны оноо авахыг шаарддаг.

• X тэгшитгэлийг дахин авч үзье² + 2x + 1. Түүний цорын ганц x хөндлөн огтлол x = -1 дээр байгааг бид аль хэдийн мэднэ. Энэ нь зөвхөн x хөндлөн огтлолцолд нэг л удаа хүрч байгаа тул бид түүний орой нь түүний x хөндлөн огтлол бөгөөд энэ нь орой нь (-1, 0) гэсэн утгатай гэж бид дүгнэж болно. Бидэнд энэ параболагийн ганцхан оноо байгаа нь сайн парабола зурахад бараг л хангалттай биш юм. Нарийвчилсан график зурахын тулд дахиад хэдэн зүйлийг хайж үзье.

  • Дараах x утгуудын y утгыг олъё: 0, 1, -2, ба -3.
  • 0 -ийн хувьд: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Бидний хэлэх зүйл бол (0, 1).

  • 1 -ийн хувьд: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Бидний хэлэх зүйл бол (1, 4).

  • -2 -ийн хувьд: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Бидний хэлэх зүйл бол (-2, 1).

  • -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Бидний хэлэх зүйл бол (-3, 4).

  • Эдгээр цэгүүдийг график дээр зураад U хэлбэрийн муруйгаа зур. Парабол нь төгс тэгш хэмтэй болохыг анхаарна уу - Параболагийн нэг талын цэгүүд бүхэл тоонууд дээр хэвтэж байвал та тухайн цэгийг параболагийн тэгш хэмийн тэнхлэгт тусгаж, нөгөө талаас харгалзах цэгийг олох замаар ажлаа хэмнэх боломжтой болно. параболагийн тухай.

Видео - Энэ үйлчилгээг ашигласнаар зарим мэдээллийг YouTube -тэй хуваалцаж болно

Зөвлөмж

• F (x) = ax -т байгааг анхаарна уу² + bx + c, хэрэв b эсвэл c тэг болвол эдгээр тоо алга болно. Жишээлбэл, 12x² + 0x + 6 нь 12x болно² 0 нь 0 бол + 6.
• Алгебрийн багшийн хэлснээр тоог дугуйруулж эсвэл бутархай тоог ашиглаарай. Энэ нь квадрат тэгшитгэлээ зөв график гаргахад тусална.